Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{4 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x}{4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{8} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим $2 K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.4

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 8 K}{4}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\frac{x^{2} + 8 K}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + 8 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x^{2} + 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 8 K)}{4}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x^{2} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + 8 K)}$

Этап 3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 8 K}$

Этап 3.4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{x^{2} + 8 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 8 K}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{2}$