Математический анализ Примеры

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + \ln (x)) d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (y)$ и $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.6.2.2

Добавим $\ln (y) y$ и $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Этап 2.3.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$