Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 4 x y = 2 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 4 x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{4 \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{4}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{2}{1} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e^{2 x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x^{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{2 x^{2}} (4 x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = e^{2 x^{2}} (2 x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 e^{2 x^{2}} (x y) = 2 e^{2 x^{2}} x$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d y}{d x} + 4 x y e^{2 x^{2}} = 2 x e^{2 x^{2}}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] = 2 x e^{2 x^{2}}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}} y] d x = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x^{2}} y = \int 2 x e^{2 x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int x e^{2 x^{2}} d x$

Этап 6.2

Пусть $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 4 x e^{2 x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = x e^{2 x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u_{2} = e^{2 x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x^{2}}]$

Этап 6.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 6.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 6.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x^{2}$ .

$e^{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{2 x^{2}} (2 (2 x))$

Этап 6.2.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x^{2}} (4 x)$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 x^{2}} (4 x)$ .

$4 e^{2 x^{2}} x$

Этап 6.2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $4 e^{2 x^{2}} x$ .

$4 x e^{2 x^{2}}$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 \int \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$

Этап 6.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $2 (\frac{1}{4} u_{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$ .

$e^{2 x^{2}} y = 2 (\frac{1}{4}) u_{2} + C$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2}{4} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 (1)}{4} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Этап 6.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{2 x^{2}}$ .

$e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ на $e^{2 x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{2 x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{2 x^{2}} + C$ на $e^{2 x^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x^{2}} y}{e^{2 x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x^{2}}}{e^{2 x^{2}}} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{2 x^{2}}}$