Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + p (x) y = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} + y \cdot y = 0$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d y}{d x} + y^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - y^{2}$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2}} y^{2}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2}} y^{2}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = - 1$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - 1 d x$

Этап 3.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - 1 d x$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - 1 d x$

Этап 3.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 3.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - 1 d x$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - x + K$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 4.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - x + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - x + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - x y + K y$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - x y + K y$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x y + K y$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $- x y + K y = - 1$ .

$- x y + K y = - 1$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- x y$ .

$y (- x) + K y = - 1$

Этап 4.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (- x) + y K = - 1$

Этап 4.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- x) + y K$ .

$y (- x + K) = - 1$

Этап 4.3.3

Разделим каждый член $y (- x + K) = - 1$ на $- x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $y (- x + K) = - 1$ на $- x + K$ .

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Этап 4.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- x + K)}{- x + K} = \frac{- 1}{- x + K}$

Этап 4.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x + K}$

Этап 4.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- x + K}$

Этап 4.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y = - \frac{1}{- (x) + K}$

Этап 4.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x) - 1 (- K)}$

Этап 4.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x - K)}$

Этап 4.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.5.1

Перепишем $- (x - K)$ в виде $- 1 (x - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x - K)}$

Этап 4.3.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{x - K}$

Этап 4.3.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x - K}$

Этап 4.3.3.3.5.4

Умножим $\frac{1}{x - K}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x - K}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{x + K}$