Математический анализ Примеры

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y + y^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Этап 2.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y^{2}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y^{2}$ вместо $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y - 1 \cdot 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Этап 4.3.2.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.4

Подставим $y^{2}$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{2}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x y + y^{2} - 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x y + y^{2} - 1$ на $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2.2.2

Разделим $x + y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Этап 12.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Этап 12.1.3.2

Добавим $y - \frac{1}{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Этап 13

Найдем первообразную $y - \frac{1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Этап 13.6

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Этап 13.7

Упростим.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$