Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.7

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Этап 1.8

Используем правило частного степеней $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.4.1

Вынесем множитель $V$ из $V - V (1 + V^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.4.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.1.3

Вынесем множитель $V$ из $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.1.4

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.5

Вычтем $V^{2}$ из $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.4.6.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.6.2

Умножим $V$ на $V^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Умножим $V$ на $V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2

Умножим $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $1 + V^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ в числитель.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.2

Вынесем множитель $1 + V^{2}$ из $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.3

Вынесем множитель $1 + V^{2}$ из $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $V^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Этап 6.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Вынесем $V^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Умножим $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $V^{- 3}$ на $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $V^{2}$ на $V^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

По правилу степени интеграл $V^{- 3}$ по $V$ имеет вид $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Интеграл $V^{- 1}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Упростим.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.2.1

Умножим $\frac{1}{V^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2.2

Перенесем $2$ влево от $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.3

Умножим $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{y}{x}$ и $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.4.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Этап 8.5.2

Объединим $2$ и $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Этап 8.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Этап 8.5.4

Умножим $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$