Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sec^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $\sec^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)} \cdot \frac{\sec^{2} (y)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.3

Выразим $\sec (y)$ через синусы и косинусы.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int {(1 \cos (y))}^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$\int \cos^{2} (y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (y)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Пусть $u = 2 y$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u = 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 2.2.6.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.6.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.7

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.10

Упростим.

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 y)$ .

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.12.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.12.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) = \arctan (x) + K$