Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$ , $y (3) = 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Этап 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ — особый интеграл. Интеграл соответствует функции ошибок.

$y + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = erf (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = erf (x) + K$ .

$5 = erf (x) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $e r f (x) + K = 5$ .

$e r f (x) + K = 5$

Этап 4.2

Умножим $e r f$ на $x$ .

$e r f x + K = 5$

Этап 4.3

Вычтем $e r f x$ из обеих частей уравнения.

$K = 5 - e r f x$

Этап 5

Подставим $5 - e r f x$ вместо $K$ в $y = erf (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $5 - e r f x$ вместо $K$ .

$y = erf (x) + 5 - e r f x$