Математический анализ Примеры

$2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$2 y d y = - 4 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y d y = \int - 4 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y^{2} + C_{1} = - 4 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y^{2} + C_{1} = - 2 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Этап 3.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Этап 3.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

Этап 3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = \sqrt{- 2 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 2 x^{2} + K}$