Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 y = {(x + 1)}^{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x^{2} - 1} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x^{2} - 1} y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x^{2} - 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x}$

Этап 2.2.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.2.2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 2.2.2.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 2.2.2.1.7.5.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Этап 2.2.2.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Этап 2.2.2.1.8

Перенесем $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Этап 2.2.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.3.2

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5.3

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.2.2.5.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$e^{2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x}$

Этап 2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Этап 2.2.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Этап 2.2.6

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.6.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Этап 2.2.7

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)}$

Этап 2.2.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)}$

Этап 2.2.9

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.2.9.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.9.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})}$

Этап 2.2.10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))}$

Этап 2.2.11

Упростим.

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Этап 2.2.12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C}$

Этап 2.2.12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$e^{2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Этап 2.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1.1

Объединим $\ln (| x + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C}$

Этап 2.2.13.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x - 1 |)$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C}$

Этап 2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Этап 2.2.13.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C}$

Этап 2.2.13.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x + 1) + \ln (x - 1)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1}) + \ln (x - 1)}$

Этап 2.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1} (x - 1))}$

Этап 2.6

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(x + 1)}^{- 1} (x - 1)$

Этап 2.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1} (x - 1)$

Этап 2.8

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $x - 1$ .

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{x - 1}{x + 1}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{x^{2} - 1^{2}} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.2.2

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (\frac{2}{(x + 1) (x - 1)} y) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ и $y$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.5

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.6

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.7

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.4.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.4.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.2

Перепишем $- 1 \frac{d y}{d x}$ в виде $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.3

Развернем $(x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x + 1) - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} (x + 1) + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{d y}{d x} x + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} \cdot 1 + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.2

Вычтем $\frac{d y}{d x} x$ из $x \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Перенесем $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x} - 1 x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.2.2

Вычтем $x \frac{d y}{d x}$ из $x \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} + 0 - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.6.4.3

Добавим $x^{2} \frac{d y}{d x}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x + 1)}{x^{2} - 1}$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1}$

Этап 3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 3.8.2

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = (x - 1) \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 3.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 3.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + 2 y}{{(x + 1)}^{2}} = 1$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] = 1$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1} y] d x = \int d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = \int d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{x - 1}{x + 1} y = x + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим $\frac{x - 1}{x + 1} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{x - 1}{x + 1}$ и $y$ .

$\frac{(x - 1) y}{x + 1} = x + C$

Этап 8.1.2

Изменим порядок множителей в $\frac{(x - 1) y}{x + 1}$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} = x + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x + 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим $\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x + 1} (x + 1) = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y (x - 1) = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y x + y \cdot - 1 = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$y x - 1 \cdot y = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$y x - y = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.1.1.3

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$x y - y = (x + C) (x + 1)$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(x + C) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Развернем $(x + C) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x y - y = x (x + 1) + C (x + 1)$

Этап 8.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C (x + 1)$

Этап 8.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x y - y = x \cdot x + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x y - y = x^{2} + x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.2.1.3

Умножим $C$ на $1$ .

$x y - y = x^{2} + x + C x + C$

Этап 8.3.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$x y - y = x^{2} + C x + C + x$

Этап 8.3.2.1.2.2.2

Изменим порядок $x^{2}$ и $C x$ .

$x y - y = C x + x^{2} + C + x$

Этап 8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x - y = C x + x^{2} + C + x$

Этап 8.4.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = C x + x^{2} + C + x$

Этап 8.4.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$

Этап 8.4.2

Разделим каждый член $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Разделим каждый член $y (x - 1) = C x + x^{2} + C + x$ на $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C x}{x - 1} + \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C x + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $C x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $C x$ .

$y = \frac{x C + x^{2}}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x C + x \cdot x}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x C + x \cdot x$ .

$y = \frac{x (C + x)}{x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (C + x) + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x C + x \cdot x + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{x C + x^{2} + C}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.4.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.3.4.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{x C + x^{2} + C + x}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{x (C + x) + 1 (C + x)}{x - 1}$

Этап 8.4.2.3.4.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $C + x$ .

$y = \frac{(C + x) (x + 1)}{x - 1}$