Математический анализ Примеры

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Этап 1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (2 x + y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.7

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Этап 2.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$- 2 = - 2$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = - (2 x + y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.2.2

По правилу суммы производная $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.2

По правилу суммы производная $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.3

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.5

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.7

Добавим $2 y$ и $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $x - 2 y + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 10

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 10.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$