Математический анализ Примеры

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $e^{x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x} y = 1$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 e^{x} y}{e^{x}} = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 1.3.2

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{1}{e^{x}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \frac{1}{e^{x}}$

Этап 3.3

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{e^{x}}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{2 x}}{e^{x}}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = \frac{e^{x}}{1}$

Этап 3.4.2.4

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$

Этап 3.5

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int e^{x} d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = e^{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{2 x} y = e^{x} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = e^{x} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2 x} e^{- x}}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.3.1.2.4

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$