Математический анализ Примеры

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 = - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 + 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- x$ вместо $N$ .

$\frac{3 + 1}{- x}$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{4}{- x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x + 3 y) d x - x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x + 3 y$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x + 3 y$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- x$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 6.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 6.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

Этап 8.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y}{x^{3}}$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.3.8

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.5.2.2

Объединим $y$ и $\frac{3}{x^{4}}$ .

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.5.2.3

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $3 y - x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Вычтем $3 y$ из $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{3}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Этап 13.6.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Этап 13.6.2.3

Умножим $2$ на $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$