Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} + 4 (r e^{r x}) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Этап 2.4

Избавимся от скобок.

$r^{2} e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Этап 2.5

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $4 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (4 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + 4 e^{r x} = 2 x + 6$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4 = 2 x + 6$

Этап 2.5.5

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} (r^{2} + 4 r) + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4 r + 4) = 2 x + 6$

Этап 2.6

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 r + 4 = 2 x + 6$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x = 6$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + 4 r + 4 - 2 x - 6 = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$r^{2} + 4 r - 2 x - 2 = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = - 2 x - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6

Добавим $16$ и $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.8

Перепишем $8 (x + 3)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $16$ и $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.8

Перепишем $8 (x + 3)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 3.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $16$ и $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x + 8 \cdot 3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Перепишем $8 (x + 3)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x + 3)}}{2}$ .

$r = - 2 \pm \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 + \sqrt{2 (x + 3)}$

$r = - 2 - \sqrt{2 (x + 3)}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

$y_{2} = e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{(- 2 + \sqrt{2 (x + 3)}) x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{(- 2 - \sqrt{2 (x + 3)}) x}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = c_{1} e^{- 2 x + \sqrt{2 (x + 3)} x} + c_{2} e^{- 2 x - \sqrt{2 (x + 3)} x}$