Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2} + 2 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.5.3

Умножим $\int e^{2 x} (x) d x$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.7.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.9

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.10

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1})) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.13

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + \int 2 x e^{2 x} d x$

Этап 6.14

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 \int x e^{2 x} d x$

Этап 6.15

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6.16.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 6.16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Этап 6.17

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Этап 6.18

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.18.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.18.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.18.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.18.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 6.19

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Этап 6.20

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 6.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6.21.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 6.22

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C)) + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C))$

Этап 6.23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.23.1

Упростим.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u_{2}}) + C$

Этап 6.23.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.23.2.1

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) + C$

Этап 6.23.2.2

Чтобы записать $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 6.23.2.3

Объединим $2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 6.23.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 6.23.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u_{1}}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

Этап 6.24

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.24.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u_{2}}}{4})}{2} + C$

Этап 6.24.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 6.25

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.25.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 6.25.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 6.25.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 6.25.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 6.25.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.25.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{2 x}}{4}$ в числитель.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Этап 6.25.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Этап 6.25.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x}}{2} + C$

$e^{2 x} y = - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 6.26

Изменим порядок членов.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}) + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x}) + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2.1.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 x e^{2 x}) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x e^{2 x})) + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} + \frac{1}{2} (- e^{2 x}) + C$

Этап 7.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.3

Изменим порядок множителей в $x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.4

Вычтем $\frac{e^{2 x}}{2}$ из $e^{2 x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $x$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.4.2

Чтобы записать $x e^{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.4.3

Объединим $x e^{2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.6

Изменим порядок множителей в $x^{2} e^{2 x} + x e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.7

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.7.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $2 x e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2} + C$

Этап 7.1.7.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Этап 7.1.7.4

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x)$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Этап 7.1.7.5

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$e^{2 x} y = - \frac{1}{2} \cdot (x e^{2 x}) + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Этап 7.1.8

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{x}{2} \cdot e^{2 x} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Этап 7.1.9

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = - \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{\frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{e^{2 x} x}{2} + \frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} (x^{2} + 2 x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем $- 1 e^{2 x}$ в виде $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{- e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Добавим $- e^{2 x} x$ и $2 e^{2 x} x$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{1 e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.3.2.2

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot e^{2 x} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x e^{2 x} + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.2.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + x^{2} e^{2 x} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} - e^{2 x}}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2.1.4

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} x + e^{2 x} x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2.1.5

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x + x^{2}) + e^{2 x} \cdot - 1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x + x^{2} - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.4.2.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{\frac{e^{2 x}}{4} + C + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.5

Чтобы записать $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2} \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Умножим $\frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1)}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{2 \cdot 2}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x}}{4} + \frac{e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.1.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x^{2} + x - 1) \cdot 2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} ((x^{2} + x - 1) \cdot 2)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + (x^{2} + x - 1) \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + x^{2} \cdot 2 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.8.3.1

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + x \cdot 2 - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.3.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 1 \cdot 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.4

Умножим $2$ на $x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (1 + 2 x^{2} + 2 x - 2)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.8.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.9

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 4}{4} + \frac{e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{C \cdot 4 + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{4 \cdot C + e^{2 x} (2 x^{2} + 2 x - 1)}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{4 C + e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11.3.3

Перенесем $- 1$ влево от $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.11.4

Упростим каждый член.

$y = \frac{\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.12

Изменим порядок множителей в $\frac{4 C + 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.13

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Этап 7.2.3.14

Умножим $\frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4}$ на $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 C + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{4 e^{2 x}}$