Математический анализ Примеры

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ на $x e^{- t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ на $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d x}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Этап 1.4.3

Умножим $t$ на $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- t}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $- t \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Этап 2.3.1.2.2.2

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Изменим порядок множителей в $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Этап 4

Так как $x$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 1)$ , рассмотрим $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $t$ , а $1$ вместо $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Этап 5.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Этап 5.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ в виде ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Умножим $0$ на $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Вычтем $1$ из $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Этап 5.3.2.1.3.3.2

Упростим.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 + 2 K = 1$

Этап 5.4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 K = 1 + 2$

Этап 5.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$2 K = 3$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 K = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 K = 3$ на $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Этап 6

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $K$ в $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Этап 6.3

Чтобы записать $e^{t} t$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Этап 6.4

Объединим $e^{t} t$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Этап 6.6

Перенесем $2$ влево от $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Этап 6.7

Чтобы записать $- e^{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Этап 6.8

Объединим $- e^{t}$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Этап 6.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Этап 6.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Этап 6.11

Объединим $2$ и $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Этап 6.12

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Сократим выражение $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Этап 6.12.1.2

Перепишем это выражение.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Этап 6.12.2

Разделим $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ на $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Этап 6.13

Изменим порядок множителей в $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$