Математический анализ Примеры

$(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x y + 3 y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y + 3 y - 4]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x y + 3 y - 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x y$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $3 x + 3$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + 3$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = {(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]$

Этап 2.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1)]$

Этап 2.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 1) + 1 (x + 1)]$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)]$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1]$

Этап 2.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1]$

Этап 2.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1 \cdot 1]$

Этап 2.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x + x + 1]$

Этап 2.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 + 0$

Этап 2.11

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x + 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x + 3 = 2 x + 2$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$3 x + 3 = 2 x + 2$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $3 x + 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{N}$

Этап 4.3

Подставим ${(x + 1)}^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим ${(x + 1)}^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{3 x + 3 - (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 3 - (2 x) - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 1 \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x + 3 - 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $3 x$ .

$\frac{x + 3 - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x + 1$ и ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x + 1)}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x + 1}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x + 1} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 5.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Этап 5.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | u | + C$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$μ (x, y) = | x + 1 | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x y + 3 y - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x y + 3 y - 4$ на $x + 1$ .

$(3 x y + 3 y - 4) (x + 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.2

Развернем $(3 x y + 3 y - 4) (x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$(3 x y x + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перенесем $x$ .

$(3 (x \cdot x) y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y \cdot 1 + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4 \cdot 1) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 y x + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Добавим $3 x y$ и $3 y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем $y$ .

$(3 x^{2} y + 3 x y + 3 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $3 x y$ и $3 x y$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} (x + 1) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим ${(x + 1)}^{2}$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} d y = 0$

Этап 6.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{2 + 1} d y = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + {(x + 1)}^{3} d y = 0$

Этап 6.7

Воспользуемся бином Ньютона.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Этап 6.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d y = 0$

Этап 6.8.2

Единица в любой степени равна единице.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) d y = 0$

Этап 6.8.3

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) d y = 0$

Этап 6.8.4

Единица в любой степени равна единице.

$(3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4) d x + (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.9

Умножим $2$ на $3$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.10

Умножим $3$ на $1$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.3.11

Добавим $3 x^{2} + 6 x + 3$ и $0$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (3 x^{2} + 6 x + 3) + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (3 x^{2}) + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$3 \cdot y x^{2} + y (6 x) + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.5.2.2

Перенесем $6$ влево от $y$ .

$3 y x^{2} + 6 \cdot y x + y \cdot 3 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.5.2.3

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$3 y x^{2} + 6 y x + 3 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 6 x y + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y$

Этап 12.1.2

Вычтем $6 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y$

Этап 12.1.3

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$

Этап 12.1.4

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y + 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 3 x^{2} y - 6 x y - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 + 0 - 6 x y - 3 y$

Этап 12.1.4.2

Добавим $6 x y + 3 y - 4 x - 4$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x y + 3 y - 4 x - 4 - 6 x y - 3 y$

Этап 12.1.4.3

Вычтем $6 x y$ из $6 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 + 0 - 3 y$

Этап 12.1.4.4

Добавим $3 y - 4 x - 4$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y - 4 x - 4 - 3 y$

Этап 12.1.4.5

Вычтем $3 y$ из $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4 + 0$

Этап 12.1.4.6

Добавим $- 4 x - 4$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$

Этап 13

Найдем первообразную $- 4 x - 4$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - 4 x - 4$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 4 x - 4 d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 4 x - 4 d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int - 4 x d x + \int - 4 d x$

Этап 13.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 4 \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Этап 13.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Этап 13.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$g (x) = - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Этап 13.8

Упростим.

$g (x) = - 2 x^{2} - 4 x + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + 1 y - 2 x^{2} - 4 x + C$

Этап 15.2

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y + y - 2 x^{2} - 4 x + C$