Математический анализ Примеры

$(2 x + 5) d x - d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(2 x + 5) d x$ из обеих частей уравнения.

$- d y = - (2 x + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 1 d y = \int - (2 x + 5) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = \int - (2 x + 5) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- (2 x + 5)$ .

$- y + C_{1} = \int - (2 x) - 1 \cdot 5 d x$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- y + C_{1} = \int - 2 x - 1 \cdot 5 d x$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- y + C_{1} = \int - 2 x - 5 d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- y + C_{1} = \int - 2 x d x + \int - 5 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - 2 \int x d x + \int - 5 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- y + C_{1} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$- y + C_{1} = - x^{2} - 5 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- y = - x^{2} - 5 x + K$

Этап 3

Разделим каждый член $- y = - x^{2} - 5 x + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- y = - x^{2} - 5 x + K$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 5 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 5 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 1} + \frac{- 5 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 5 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 5 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 5 x}{- 1}$ .

$y = x^{2} - 1 \cdot (- 5 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (- 5 x)$ в виде $- (- 5 x)$ .

$y = x^{2} - (- 5 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$y = x^{2} + 5 x + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.3.1.6

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$y = x^{2} + 5 x - 1 \cdot K$

Этап 3.3.1.7

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$y = x^{2} + 5 x - K$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = x^{2} + 5 x + K$