Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + x) (1 + y))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $1 + y$ из $(1 + x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y} d y = (1 + x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int 1 + x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 1 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 + x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | 1 + y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Этап 3.3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ в виде $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 1$