Математический анализ Примеры

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{4} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 1$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3} y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $2 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{4}} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x^{3} (2 y)}{x^{3} x} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{1}{x^{2} x^{2}}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

Этап 7.3

Перепишем $- x^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{x} + C$ .

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$