Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{4 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \cos (x^{2})}{y \cdot 4}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cos (x^{2})}{4}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cos (x^{2})}{4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x \cos (x^{2}) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} (\sin (u) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (u) + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{8} \sin (x^{2}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\sin (x^{2})$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\sin (x^{2})}{8} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{8} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 (4)} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{\sin (x^{2})}{2 \cdot 4} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$

$y = - \sqrt{\frac{\sin (x^{2})}{4} + K}$