Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} = e^{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} = e^{y}$

Этап 1.1.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = e^{y} x$

Этап 1.1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} x$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{y} x$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (x e^{y})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} x)$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{y}} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $e^{- y}$ на $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ в виде $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - K$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln (e^{- y})$ , вынося $- y$ из логарифма.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 3.4

Разделим каждый член $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ в виде $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} + K)$