Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 - x + x^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (2 - x + x^{3}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 - x + x^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 - x + x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 2 d x + \int - x d x + \int x^{3} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int - x d x + \int x^{3} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 x + C_{2} - \int x d x + \int x^{3} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{3} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{4} x^{4} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x + C_{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{4} x^{4} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$y + C_{1} = 2 x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{5}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + K$