Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = y + x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y + x y$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x y}{x}$

Этап 1.1.3.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y$

Этап 1.2.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y^{1}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1}{x} + y \cdot 1$

Этап 1.2.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y \frac{1}{x} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + 1)$

Этап 1.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{1}{x} + \frac{x}{x})$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x + C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x + C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x} e^{C})$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x})$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x | e^{x}$