Математический анализ Примеры

$2 x (1 + y^{2}) d x - y (1 + 2 x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 x (1 + y^{2}) d x$ из обеих частей уравнения.

$- y (1 + 2 x^{2}) d y = - 2 x (1 + y^{2}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 + 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + 2 x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $1 + 2 x^{2}$ из $y (1 + 2 x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + 2 x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + 2 x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ и $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (- 2 x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - 2 \frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + 2 x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{(1 + y^{2}) (1 + 2 x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Этап 3.7.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2}{1 + 2 x^{2}} x d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{- 2}{1 + 2 x^{2}}$ и $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + 2 x^{2}} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u_{2} = 1 + 2 x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u_{2} = 1 + 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Этап 4.3.4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 4 x$

Этап 4.3.4.1.4

Добавим $0$ и $4 x$ .

$4 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $4$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 2}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{- 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\ln (| 1 + y^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| 1 + y^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $\ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + 2 x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + C \cdot 2)$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + 2 x^{2} |) + 2 C)$

Этап 5.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.6

Умножим $- - \ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.6.2

Умножим $\ln (| 1 + 2 x^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + 2 x^{2} |) - 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + 2 x^{2} |) = - 2 C$

Этап 5.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}) = - 2 C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |}$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} = e^{- 2 C}$

Этап 5.7.2

Умножим обе части на $| 1 + 2 x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} | 1 + 2 x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Этап 5.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Сократим общий множитель $| 1 + 2 x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + 2 x^{2} |} | 1 + 2 x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Этап 5.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Этап 5.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$

Этап 5.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$

Этап 5.7.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | 1 + 2 x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} |$

Этап 5.7.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} | - 1$

Этап 5.7.4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + 2 x^{2} | - 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + 2 x^{2} | - 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + 2 x^{2} | - 1}$