Математический анализ Примеры

$(2 x y - \sec^{2} (x)) d x + (x^{2} + 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y - \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - \sec^{2} (x)]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y - \sec^{2} (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- \sec^{2} (x)]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- \sec^{2} (x)$ является константой относительно $y$ , производная $- \sec^{2} (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x = 2 x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 2 d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} + 2$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 2 d y$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 2 d y$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 2 y + C$

Этап 5.4

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 y + g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x^{2} y + 2 y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.4

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 y x$ и $0$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y - \sec^{2} (x)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x y - \sec^{2} (x) - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $\sec^{2} (x)$ из $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$

Этап 10

Найдем первообразную $- \sec^{2} (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - \sec^{2} (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \sec^{2} (x) d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \sec^{2} (x) d x$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 10.4

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$g (x) = - (\tan (x) + C)$

Этап 10.5

Упростим.

$g (x) = - \tan (x) + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y + 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + 2 y - \tan (x) + C$