Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $r$ из $r θ + r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $r$ из $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Этап 1.1.2

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $r$ из $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $r$ из $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $θ$ из $r θ + θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $θ$ из $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Этап 1.2.2

Возведем $θ$ в степень $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $θ$ из $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $θ$ из $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{r}{r + 1}$ на $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $r + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $r + 1$ из $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{r}$ по $r$ имеет вид $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.2.6

Упростим.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{θ}$ по $θ$ имеет вид $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $θ$ и $e$ вместо $r$ в $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Этап 4.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Этап 4.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Этап 4.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Этап 4.5

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Этап 4.6

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Этап 4.7

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Этап 4.8

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Этап 4.9

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Этап 4.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Этап 4.11

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Этап 4.12

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Этап 4.13

Поскольку $C$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 1 - C + e = - 1$

Этап 4.14

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- C + e = - 1 + 1$

Этап 4.14.2

Вычтем $e$ из обеих частей уравнения.

$- C = - 1 + 1 - e$

Этап 4.14.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- C = 0 - e$

Этап 4.14.4

Вычтем $e$ из $0$ .

$- C = - e$

Этап 4.15

Разделим каждый член $- C = - e$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Разделим каждый член $- C = - e$ на $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Этап 4.15.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Этап 4.15.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Этап 4.15.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$C = \frac{e}{1}$

Этап 4.15.3.2

Разделим $e$ на $1$ .

$C = e$

Этап 5

Подставим $e$ вместо $C$ в $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $e$ вместо $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$