Математический анализ Примеры

$x y y' = x^{2} + 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (y)} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы записать $\frac{x}{y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{x}{y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.2.2.2

Изменим порядок множителей в $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{1}{x y}$

Этап 2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{x y}$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Этап 2.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 2.4

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{x^{2} + 1}{x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{x y}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y x}$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Этап 2.6

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 3.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 3.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 3.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 4.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Этап 4.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 4.3

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Этап 4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Этап 4.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Этап 5

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$