Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 2 y^{2}) d x + x (y d) y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} - 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - 2 y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y^{2}$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

Этап 1.4

Вычтем $4 y$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 4 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 4 y = y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 4 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - y}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y$ вместо $N$ .

$\frac{- 4 y - y}{x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $y$ из $- 4 y$ .

$\frac{- 5 y}{x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y}{x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{x}$

Этап 4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{5}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 5 \ln (| x |)$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 5})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 5} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{5}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{2} - 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$(x^{2} - 2 y^{2}) \frac{1}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{2} - 2 y^{2}$ на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x y$ на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x^{5}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x (y) \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Этап 6.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + x y \frac{1}{x \cdot x^{4}} d y = 0$

Этап 6.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.5

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} d x + \frac{y}{x^{4}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{4}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{y}{x^{4}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{x^{4}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{4}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{4}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{4} \cdot 2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot x^{4}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $2$ на $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2 x^{4}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Объединим $\frac{1}{2 x^{4}}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{y^{2}}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.8

Объединим $- 4$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.9

Объединим $\frac{- 4 y^{2}}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 y^{2} x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.10

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.11

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 y^{2})}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 y^{2}}{x^{5}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} = \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2}}{x^{5}} - \frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - (x^{2} - 2 y^{2})}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - x^{2} - (- 2 y^{2})}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} - x^{2} + 2 y^{2}}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 y^{2} - x^{2} + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 2 y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x^{3}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{3}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Этап 13.6.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Этап 13.6.2.3

Умножим $2$ на $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2 x^{4}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$