Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3 y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{y^{2} \cdot 3}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} + 1}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x)$

Этап 2.3.5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x)$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int d x)$

Этап 2.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Этап 2.3.8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + x + C_{4})$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} (x^{4} + x^{3} + x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{3} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{3} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = x^{4} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + 3 \frac{x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = x^{4} + x^{3} + x + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{x^{4} + x^{3} + x + K}$