Математический анализ Примеры

$2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ на $2 x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$ на $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} \frac{d y}{d x}}{2 x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x^{2}} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y^{2}}{2 x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{2 x}$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} \frac{y}{x}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V \cdot V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1.1

Перенесем $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (V \cdot V)$

Этап 6.1.1.1.1.2

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} V^{2}$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{V^{2}}{2} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{V^{2}}{2}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.4

Объединим.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2} \cdot 1}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.5

Умножим $V^{2}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x} + \frac{V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x}$

Этап 6.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{V}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V}{x} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Умножим $\frac{V}{x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{x \cdot 2}$

Этап 6.1.2.3.2

Изменим порядок множителей в $x \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 x} - \frac{V \cdot 2}{2 x}$

Этап 6.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot 2}{2 x}$

Этап 6.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - 2 V}{2 x}$

Этап 6.1.2.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1}{2 x}$

Этап 6.1.2.5.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 V + 1^{2}}{2 x}$

Этап 6.1.2.5.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 V = 2 \cdot V \cdot 1$

Этап 6.1.2.5.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 2 \cdot V \cdot 1 + 1^{2}}{2 x}$

Этап 6.1.2.5.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = V$ и $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(V - 1)}^{2}}{2 x}$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Объединим.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель ${(V - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 {(V - 1)}^{2}}{{(V - 1)}^{2} (2 x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} d V = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = V - 1$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = V - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $V - 1$ .

$\frac{d}{d V} [V - 1]$

Этап 6.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $V - 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [- 1]$

Этап 6.2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- 1$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{V - 1} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{V - 1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 6.3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$V - 1, 1, 1$

Этап 6.3.2.2

Избавимся от скобок.

$V - 1, 1, 1$

Этап 6.3.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$V - 1$

Этап 6.3.3

Каждый член в $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ умножим на $V - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{V - 1} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ на $V - 1$ .

$- \frac{1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $V - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{V - 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{V - 1} (V - 1) = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) (V - 1) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - 1 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.3.1.3

Перепишем $- 1 \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ в виде $- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C (V - 1)$

Этап 6.3.3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V + C \cdot - 1$

Этап 6.3.3.3.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $C$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - 1 \cdot C$

Этап 6.3.3.3.1.6

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$- 1 = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Этап 6.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) V - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$ .

$- 1 = V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C$

Этап 6.3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$ .

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V - C = - 1$

Этап 6.3.4.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = - C V + C - 1$

Этап 6.3.4.3

Добавим $C V$ к обеим частям уравнения.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1$

Этап 6.3.4.4

Добавим $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ к обеим частям уравнения.

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.4.5

Вынесем множитель $V$ из $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.5.1

Вынесем множитель $V$ из $C V$ .

$V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.4.5.2

Вынесем множитель $V$ из $V \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + V C$ .

$V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.3.4.6

Разделим каждый член $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ на $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.6.1

Разделим каждый член $V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C) = C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ на $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{V (\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 6.3.4.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 6.3.4.6.2.1.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 6.3.4.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = \frac{C}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 6.3.4.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \frac{C - 1}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 6.3.4.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \frac{C - 1 + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим $\frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ и $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Изменим порядок членов.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Этап 8.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{C + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})} x$

Этап 8.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y = 1 x$

Этап 8.2.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$