Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x y + x^{2}$

Этап 1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - x y = x^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - x d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int x d x}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Этап 2.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Тогда $d u_{1} = - x d x$ , следовательно $- \frac{1}{x} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Пусть $u_{1} = - \frac{x^{2}}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Дифференцируем $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 7.1.1.2

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 7.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 7.1.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x$

Этап 7.1.1.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x$

Этап 7.1.1.4.3

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2}$

Этап 7.1.1.4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2}$

Этап 7.1.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Этап 7.1.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{1}$

Этап 7.1.1.4.4.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$- x$

Этап 7.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int - \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - \int \sqrt{- 2 u_{1}} e^{u_{1}} d u_{1}$

Этап 7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = e^{u_{1}}$ и $d v = \sqrt{- 2 u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.3

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.4

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.5

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.6

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.7

Умножим $3$ на $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.8

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 (1)}{6} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.9

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.4.10

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.6.2

Умножим $\int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ на $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Этап 7.8

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перепишем $- (- \frac{e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ в виде $- (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{1}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{e^{u_{1}}}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.9.2.2

Объединим ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.9.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Этап 7.9.2.4

Объединим $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ и $e^{u_{1}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Этап 7.9.2.5

Добавим $- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ и $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = - 0 + C$

Этап 7.9.2.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Этап 7.9.2.7

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$