Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 2 + \sqrt{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = 2 + \sqrt{x}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2 + \sqrt{x}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \sqrt{x}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} + \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 7.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Этап 7.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Этап 7.4.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 7.4.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 7.4.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 7.4.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 7.4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7.6

Упростим.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(\ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{1}{2}} x + C x$

Этап 8.4.2.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Этап 8.4.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + C x$

Этап 8.4.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{1 + \frac{1}{2}} + C x$

Этап 8.4.2.1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + C x$

Этап 8.4.2.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}} + C x$

Этап 8.4.2.1.2.5

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Этап 8.4.2.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}} + C x$

Этап 8.4.2.1.4

Перенесем $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.4.2.1.5

Изменим порядок $x \ln (x^{2})$ и $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2}) + 2 x^{\frac{3}{2}}$