Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} y - 8 x y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $8 x y$ из $8 x^{3} y - 8 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $8 x y$ из $8 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) - 8 x y$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $8 x y$ из $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $8 x y$ из $8 x y (x^{2}) + 8 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1)$

Этап 1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x^{2} - 1^{2})$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x y ((x + 1) (x - 1))$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = 8 x y (x + 1) (x - 1)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 x y (x + 1) (x - 1))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Этап 1.3.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (x y (x + 1) (x - 1))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y ((x (x + 1)) (x - 1)))$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x (x + 1)) (x - 1))$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x \cdot x + x \cdot 1) (x - 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x \cdot 1) (x - 1))$

Этап 1.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 ((x^{2} + x) (x - 1))$

Этап 1.3.7

Развернем $(x^{2} + x) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} (x - 1) + x (x - 1))$

Этап 1.3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x (x - 1))$

Этап 1.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.4

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1)$

Этап 1.3.8.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x)$

Этап 1.3.8.1.6

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x^{2} + x^{2} - x)$

Этап 1.3.8.2

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} + 0 - x)$

Этап 1.3.8.3

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 (x^{3} - x)$

Этап 1.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} + 8 (- x)$

Этап 1.3.10

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 8 x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (8 x^{3} - 8 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} - 8 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 8 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 x^{4} - 4 x^{2} + C}$ в виде $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} - 4 x^{2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{2 x^{4} - 4 x^{2}}$