Математический анализ Примеры

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Этап 1.2

Поскольку $e^{x^{3}}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ по $y$ равна $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} y - x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Этап 1.4

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2} y$ по $y$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Этап 1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Этап 1.7

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.8

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Этап 1.9.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 x^{2} e^{x^{3}}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x^{2} e^{x^{3}}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = e^{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $e^{x^{3}} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $e^{x^{3}} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.3.2.2

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 8.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 9.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Этап 9.1.1.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Этап 9.1.1.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Этап 9.1.1.4.3

Изменим порядок множителей в $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Этап 9.1.2.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вычтем $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ из $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Этап 9.1.2.2.2

Добавим $- x^{2} e^{x^{3}}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 10

Найдем первообразную $- x^{2} e^{x^{3}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Этап 10.4

Пусть $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Тогда $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Дифференцируем $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Этап 10.4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 10.4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 10.4.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 10.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Этап 10.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Этап 10.4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Этап 10.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 10.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Этап 10.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Перепишем $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Этап 10.6.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $e^{x^{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.2

Вычтем $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ из $e^{x^{3}} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Изменим порядок $e^{x^{3}}$ и $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $y e^{x^{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.2.3

Объединим $y e^{x^{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перенесем $3$ влево от $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.3.2

Вынесем множитель $e^{x^{3}}$ из $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Вынесем множитель $e^{x^{3}}$ из $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Этап 12.3.2.2

Вынесем множитель $e^{x^{3}}$ из $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Этап 12.3.2.3

Вынесем множитель $e^{x^{3}}$ из $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$