Математический анализ Примеры

$2 x y d x + (x^{2} - 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} - 1) d y = - 2 x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} - 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y)} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x^{2} - 1) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1) y} (x y) d x$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} - 1^{2}) y} (x y) d x$

Этап 3.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Этап 3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(x + 1) (x - 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1) y} (x y) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $(x + 1) (x - 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (x y) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y ((x + 1) (x - 1))} (y x) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = (x + 1) (x - 1)$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = (x + 1) (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Этап 4.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.4.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.4.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Этап 4.3.4.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Этап 4.3.4.1.3.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Этап 4.3.4.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Этап 4.3.4.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | (x + 1) (x - 1) |) = C$

Этап 5.3

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y | | x (x - 1) + 1 (x - 1) |) = C$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) = C$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y | | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y | | x^{2} - x + x - 1 |) = C$

Этап 5.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (| y | | x^{2} + 0 - 1 |) = C$

Этап 5.4.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (| y | | x^{2} - 1 |) = C$

Этап 5.5

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| y (x^{2} - 1) |) = C$

Этап 5.6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot - 1 |) = C$

Этап 5.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\ln (| y x^{2} - 1 \cdot y |) = C$

Этап 5.7

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\ln (| y x^{2} - y |) = C$

Этап 5.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x^{2} - y |)} = e^{C}$

Этап 5.9

Перепишем $\ln (| y x^{2} - y |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} - y |$

Этап 5.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем уравнение в виде $| y x^{2} - y | = e^{C}$ .

$| y x^{2} - y | = e^{C}$

Этап 5.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} - y = \pm e^{C}$

Этап 5.10.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) - y = \pm e^{C}$

Этап 5.10.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x^{2}) + y \cdot - 1 = \pm e^{C}$

Этап 5.10.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{2}) + y \cdot - 1$ .

$y (x^{2} - 1) = \pm e^{C}$

Этап 5.10.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{C}$

Этап 5.10.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.5.1

$y ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{C}$

Этап 5.10.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$

Этап 5.10.6

Разделим каждый член $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ на $(x + 1) (x - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.6.1

Разделим каждый член $y (x + 1) (x - 1) = \pm e^{C}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.10.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.10.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.10.6.2.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.10.6.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$