Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y^{2}} (1 - y^{2})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y^{2}} (1 - y^{2})$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - y^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - y^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{1^{2} - y^{2}}$

Этап 2.2.1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{1}{(1 + y) (1 - y)}$

Этап 2.2.1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + y}$

Этап 2.2.1.1.3

$\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.6

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.1.2

Разделим $(A) (1 - y)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Этап 2.2.1.1.7.5.2

Разделим $(B) (1 + y)$ на $1$ .

$1 = A - A y + (B) (1 + y)$

Этап 2.2.1.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A y + B \cdot 1 + B y$

Этап 2.2.1.1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A y + B + B y$

Этап 2.2.1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Этап 2.2.1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $y$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Этап 2.2.1.1.8.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - y A + B y + B$

Этап 2.2.1.1.8.4

Перенесем $A$ .

$1 = - y A + B y + A + B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Этап 2.2.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - y}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 (1 + y)} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + y} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.4

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.4.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y = \int d x$

Этап 2.2.7

Пусть $u_{2} = 1 - y$ . Тогда $d u_{2} = - d y$ , следовательно $- d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Пусть $u_{2} = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.7.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 2.2.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Этап 2.2.10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{2})) = \int d x$

Этап 2.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) = x + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\ln (| 1 - y |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = x + C$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = x + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = x + C$ на $2$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| 1 - y |)}{2}$ в числитель.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{- \ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{- \ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = 2 x + 2 C$

Этап 3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) = 2 x + 2 C$

Этап 3.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |})} = e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.5

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) = 2 x + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |} = e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.2

Умножим обе части на $| 1 - y |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |} | 1 - y | = e^{2 x + 2 C} | 1 - y |$

Этап 3.6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $| 1 - y |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |} | 1 - y | = e^{2 x + 2 C} | 1 - y |$

Этап 3.6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y | = e^{2 x + 2 C} | 1 - y |$

Этап 3.6.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{2 x + 2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ .

$e^{2 x + 2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$

Этап 3.6.4.2

Разделим каждый член $e^{2 x + 2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ на $e^{2 x + 2 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x + 2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ на $e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 1 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| 1 + y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 1 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| 1 + y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.2.2.1.2

Разделим $| 1 - y |$ на $1$ .

$| 1 - y | = \frac{| 1 + y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$1 - y = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

$1 - y = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (1 - y) = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (1 - y) = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$1 - y = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

$1 - y = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$

Этап 3.6.4.5

Решим $1 - y = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.1

Умножим обе части на $e^{2 x + 2 C}$ .

$(1 - y) e^{2 x + 2 C} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1

Упростим $(1 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Умножим $e^{2 x + 2 C}$ на $1$ .

$e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.1.1.2.4

Изменим порядок $e^{2 C + 2 x}$ и $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1

Упростим $\frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = 1 + y$

Этап 3.6.4.5.2.2.1.2

Изменим порядок $1$ и $y$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = y + 1$

Этап 3.6.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} - y = 1$

Этап 3.6.4.5.3.2

Вычтем $e^{2 C + 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} - y = 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) - y = 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1 = 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} - 1) = 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.4

Перепишем $- 1 e^{2 C + 2 x}$ в виде $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.5.3.5

Разделим каждый член $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = 1 - e^{2 C + 2 x}$ на $- e^{2 C + 2 x} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.1

Разделим каждый член $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = 1 - e^{2 C + 2 x}$ на $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{1}{- e^{2 C + 2 x} - 1} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1

Сократим общий множитель $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{1}{- e^{2 C + 2 x} - 1} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{2 C + 2 x} - 1} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{1 - e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{1^{2} - e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2.2

Перепишем $e^{2 C + 2 x}$ в виде ${(e^{C + x})}^{2}$ .

$y = \frac{1^{2} - {(e^{C + x})}^{2}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e^{C + x}$ .

$y = \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y = \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)$ .

$y = \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{- (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.4

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.4.1

Перепишем $- (e^{2 C + 2 x} + 1)$ в виде $- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)$ .

$y = \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Этап 3.6.4.5.3.5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Этап 3.6.4.6

Решим $1 - y = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.1

Умножим обе части на $e^{2 x + 2 C}$ .

$(1 - y) e^{2 x + 2 C} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1

Упростим $(1 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Умножим $e^{2 x + 2 C}$ на $1$ .

$e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Изменим порядок $2 x$ и $2 C$ .

$e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.1.1.2.4

Изменим порядок $e^{2 C + 2 x}$ и $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = - \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{2 x + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1 + y}{e^{2 x + 2 C}}$ в числитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = \frac{- (1 + y)}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = \frac{- (1 + y)}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = - (1 + y)$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = - 1 \cdot 1 - y$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = - 1 - y$

Этап 3.6.4.6.2.2.1.3.2

Изменим порядок $- 1$ и $- y$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} = - y - 1$

Этап 3.6.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + e^{2 C + 2 x} + y = - 1$

Этап 3.6.4.6.3.2

Вычтем $e^{2 C + 2 x}$ из обеих частей уравнения.

$- y e^{2 C + 2 x} + y = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1 = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.3.4

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1^{2}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.5

Перепишем $e^{2 C + 2 x}$ в виде ${(e^{C + x})}^{2}$ .

$y (- {(e^{C + x})}^{2} + 1^{2}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.6

Изменим порядок $- {(e^{C + x})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$y (1^{2} - {(e^{C + x})}^{2}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.7.1

$y ((1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$

Этап 3.6.4.6.3.8

Разделим каждый член $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$ на $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.1

Разделим каждый член $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 1 - e^{2 C + 2 x}$ на $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ .

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 1}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1

Сократим общий множитель $1 + e^{C + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 1}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 1}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2

Сократим общий множитель $1 - e^{C + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 1}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} + \frac{- e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.6.3.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 - e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - e^{2 C + 2 x}$ .

$y = \frac{- 1 (1 + e^{2 C + 2 x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.6.3.8.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 + e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Этап 3.6.4.7