Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 y$

Этап 1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x^{2}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x^{2}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x^{2} e^{2 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x^{2} e^{2 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 x} y = \int x^{2} e^{2 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Этап 7.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Этап 7.3

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{2 x} (x) d x)$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{2 x} (x) d x)$

Этап 7.4.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (1 \int e^{2 x} (x) d x)$

Этап 7.4.3

Умножим $\int e^{2 x} (x) d x$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} (x) d x$

Этап 7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Этап 7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Этап 7.8

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.8.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.8.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Этап 7.9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 7.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 7.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 7.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.1

Перепишем $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.13.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.4

Объединим $\frac{x}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 7.13.2.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Этап 7.13.2.6

Чтобы записать $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 7.13.2.7

Объединим $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 7.13.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 7.13.2.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Этап 7.14

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 7.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 7.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 7.15.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 7.15.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Этап 7.15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{2 x}}{4}$ в числитель.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Этап 7.15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + C$

Этап 7.15.3.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Этап 7.15.3.4

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Этап 7.15.3.5

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.4.2

Умножим $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.4.2.2

Умножим $\frac{e^{2 x}}{2}$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.5

Чтобы записать $- x e^{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.6

Объединим $- x e^{2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.8.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.8.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.8.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.8.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.10

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.12

Перепишем $- (2 x - 1)$ в виде $- 1 (2 x - 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + C$

Этап 7.15.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{2 x} y = \frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + C$

Этап 7.16

Изменим порядок членов.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Этап 8.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot - 1)) + C$

Этап 8.1.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - 1 \cdot e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.4

Перепишем $- 1 e^{2 x}$ в виде $- e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot (2 e^{2 x} x - e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.6.3

Сократим общий множитель.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- 1}{2} (2 (e^{2 x} x)) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.6.4

Перепишем это выражение.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) - \frac{1}{2} (- e^{2 x})) + C$

Этап 8.1.1.7

Умножим $- \frac{1}{2} (- e^{2 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + 1 (\frac{1}{2}) e^{2 x}) + C$

Этап 8.1.1.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{1}{2} e^{2 x}) + C$

Этап 8.1.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - 1 (e^{2 x} x) + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.8

Перепишем $- 1 (e^{2 x} x)$ в виде $- (e^{2 x} x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.9

Объединим $- e^{2 x} x$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.9.1

Перенесем $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.9.2

Чтобы записать $- x e^{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.9.3

Объединим $- x e^{2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.10.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.10.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}) + C$

Этап 8.1.1.10.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}) + C$

Этап 8.1.1.10.1.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}) + C$

Этап 8.1.1.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Этап 8.1.2

Чтобы записать $x^{2} e^{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Этап 8.1.3

Объединим $x^{2} e^{2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}) + C$

Этап 8.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Этап 8.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $x^{2} e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Этап 8.1.5.1.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (x^{2} \cdot 2) + e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (x^{2} \cdot 2 - 2 x + 1)}{2} + C$

Этап 8.1.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2} + C$

Этап 8.1.6

Объединим.

$e^{2 x} y = \frac{1 (e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 8.1.7

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 8.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ на $e^{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{2 x} y = \frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + C \cdot \frac{4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Объединим $C$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{e^{2 x} (2 x^{2}) + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} + e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.4.2.3

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 4}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.4.3

Перенесем $4$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.5

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{2 x} x^{2} - 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 4 C}{4}$ .

$y = \frac{\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Этап 8.2.3.7

Умножим $\frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4}$ на $\frac{1}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x^{2} e^{2 x} - 2 x e^{2 x} + e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$