Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 x e^{- x}$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $y$ из $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим $x + 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Этап 2.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Этап 2.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Этап 2.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Этап 2.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Этап 2.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Этап 2.2.4

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.2.4.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{x + 2}{x + 1}$ и $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.2.2

Объединим $e^{x + \ln (x + 1)}$ и $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.3

Чтобы записать $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ из $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ из $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ из $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ из $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$

Этап 3.6

Умножим $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $e^{x + \ln (x + 1)}$ и $\frac{2 x e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $e^{x + \ln (x + 1)}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.6.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.6.2.4

Добавим $0$ и $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 x e^{- x})}{x + 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $e^{x + \ln (x + 1)}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.7.2.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.7.2.4

Добавим $0$ и $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} (2 x)}{x + 1}$

Этап 3.7.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2 x}{x + 1}$

Этап 3.7.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2 x}{x + 1}$

Этап 3.8.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Этап 3.9

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2 x$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2 x$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 x d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 x d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 \int x d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 1 x^{2} + C$

Этап 7.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ на $e^{x + \ln (x + 1)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x + \ln (x + 1)} y = x^{2} + C$ на $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$