Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 + e^{2 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (1 + e^{2 x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 1 + e^{2 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 1 + e^{2 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int d x + \int e^{2 x} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{2 x} d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{u} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$y + C_{1} = x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{4}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + x + K$