Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d q} = 178 - q - 1.5 q^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d r = (178 - q - 1.5 q^{2}) d q$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d r = \int 178 - q - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = \int 178 - q - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$r + C_{1} = \int 178 d q + \int - q d q + \int - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = 178 q + C_{2} + \int - q d q + \int - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $q$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = 178 q + C_{2} - \int q d q + \int - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $q$ по $q$ имеет вид $\frac{1}{2} q^{2}$ .

$r + C_{1} = 178 q + C_{2} - (\frac{1}{2} q^{2} + C_{3}) + \int - 1.5 q^{2} d q$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1.5$ — константа по отношению к $q$ , вынесем $- 1.5$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = 178 q + C_{2} - (\frac{1}{2} q^{2} + C_{3}) - 1.5 \int q^{2} d q$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $q^{2}$ по $q$ имеет вид $\frac{1}{3} q^{3}$ .

$r + C_{1} = 178 q + C_{2} - (\frac{1}{2} q^{2} + C_{3}) - 1.5 (\frac{1}{3} q^{3} + C_{4})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} - 1.5 (\frac{1}{3}) q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $- 1.5$ и $\frac{1}{3}$ .

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} + \frac{- 1.5}{3} q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} - \frac{1.5}{3} q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.3.1

Разделим $1.5$ на $3$ .

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} - 1 \cdot 0.5 q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.3.2

Умножим $- 1$ на $0.5$ .

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} - 0.5 q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.3.3

Объединим $q^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = 178 q - \frac{q^{2}}{2} - 0.5 q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$r + C_{1} = 178 q - \frac{1}{2} q^{2} - 0.5 q^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$r + C_{1} = - 0.5 q^{3} - \frac{1}{2} q^{2} + 178 q + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$r = - 0.5 q^{3} - \frac{1}{2} q^{2} + 178 q + K$