Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x + 1$ , $y (2) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ .

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K = 3$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 + K = 3$

Этап 4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 + 2 + K = 3$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4 + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$K = 3 - 4$

Этап 4.3.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$K = - 1$

Этап 5

Подставим $- 1$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 1$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + x - 1$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + x - 1$