Математический анализ Примеры

$3 x (y^{2} + 1) d x + y (x^{2} + 2) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $3 x (y^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$y (x^{2} + 2) d y = - 3 x (y^{2} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (y (x^{2} + 2)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 2$ из $y (x^{2} + 2)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} ((x^{2} + 2) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{y^{2} + 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (- 3 x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $(x^{2} + 2) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} (x (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 2)} ((y^{2} + 1) x) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 2} x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{- 3}{x^{2} + 2}$ и $x$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u_{2} = x^{2} + 2$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.3.4.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 2 |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 2 |)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 2 |) \cdot 3}{2} + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $\ln (| x^{2} + 2 |)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \frac{3 \ln (| x^{2} + 2 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \frac{- 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + C \cdot 2$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 3 \ln (| x^{2} + 2 |) + 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |) = 2 C$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\ln (| y^{2} + 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $3 \ln (| x^{2} + 2 |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

Этап 5.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3})} = e^{2 C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$

Этап 5.7.2

Разделим каждый член $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ на ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Разделим каждый член $| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3} = e^{2 C}$ на ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Этап 5.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x^{2} + 2 |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y^{2} + 1 | {| x^{2} + 2 |}^{3}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Этап 5.7.2.2.1.2

Разделим $| y^{2} + 1 |$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Этап 5.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}}$

Этап 5.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1$

Этап 5.7.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{{| x^{2} + 2 |}^{3}} - 1}$