Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 2 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 2 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Этап 4.2

Упростим $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Этап 4.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Этап 4.3

Вычтем $\ln (2)$ из обеих частей уравнения.

$C = 3 - \ln (2)$

Этап 5

Подставим $3 - \ln (2)$ вместо $C$ в $y = \ln (| 2 + x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3 - \ln (2)$ вместо $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$