Математический анализ Примеры

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Этап 1.2.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Этап 1.2.3

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Этап 1.2.4

Упростим.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ и $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2 t}$ и $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4

Умножим $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{z}{2 t}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2.2

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.2.4.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ на $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $t$ имеет вид $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Этап 7

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ и $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Этап 7.2

Умножим обе части на $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $t^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$