Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 + x + y^{2} + x y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) + y^{2} + x y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + y^{2} \cdot (1 + x)$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y^{2})$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x) (1 + y^{2}))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $(1 + x) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x))$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \tan (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$