Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 - x^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = (1 - x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 1 - x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int d x + \int - x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 x + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{3}$ в числитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = - x^{3} + 3 x + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 3 x + K}$