Математический анализ Примеры

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Этап 2

Пусть $v = y^{2}$ . Подставим $v$ вместо $y^{2}$ для всех.

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Этап 3

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2 y$ из $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Этап 5

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Этап 5.3.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Этап 5.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Этап 5.4.2.5

Разделим $- 2 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $v$ из $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Этап 5.6

Изменим порядок $v$ и $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Этап 6

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Этап 6.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.2.4

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 6.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 6.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 6.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 6.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 7

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.5

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $\frac{v}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Этап 7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Этап 7.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Этап 7.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Этап 8

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Этап 9

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Этап 10

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Этап 11

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Этап 11.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 11.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 11.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Этап 11.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Этап 12

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Этап 12.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Этап 12.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (- x^{2} + C) x$

Этап 12.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Упростим $(- x^{2} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = - x^{2} x + C x$

Этап 12.3.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Этап 12.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Этап 12.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Этап 12.3.2.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Этап 13

Заменим все вхождения $v$ на $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Этап 14

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Этап 14.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3} + C x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Этап 14.2.2

Вынесем множитель $x$ из $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Этап 14.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Этап 14.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Этап 14.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Этап 14.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$