Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 13 \sin (2 t)$ , $y (0) = 6$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 t} y = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $13$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $13$ из-под знака интеграла.

$e^{3 t} y = 13 \int e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{3 t}$ и $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 \int \sin (2 t) e^{3 t} d t$

Этап 6.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (2 t)$ и $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (2 \cos (2 t)) d t)$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3} \cdot 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.5.2

Объединим $\sin (2 t)$ и $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Этап 6.5.4

Изменим порядок $e^{3 t}$ и $\cos (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int \cos (2 t) e^{3 t} d t))$

Этап 6.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (2 t)$ и $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (- 2 \sin (2 t)) d t)))$

Этап 6.7

Поскольку $\frac{1}{3} \cdot - 2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3} \cdot - 2$ из-под знака интеграла.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Этап 6.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Этап 6.8.2

Объединим $\cos (2 t)$ и $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Этап 6.8.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Этап 6.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Этап 6.8.5

Умножим $\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Этап 6.8.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Этап 6.8.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Этап 6.8.6.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{2}{3} (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Этап 6.8.7

Умножим $\frac{- 2}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Этап 6.8.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.8.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Этап 6.8.8.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Этап 6.9

Найдя решение для $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ , получим $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ = $\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Этап 6.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cdot (\cos (2 t) e^{3 t})}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Этап 6.10.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{13}{9}$ .

$e^{3 t} y = 13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$

Этап 6.10.2

Перепишем $13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$ в виде $13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Перенесем $9$ влево от $\sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \cdot (\sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.2

Умножим $3$ на $13$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \sin (2 t) e^{3 t}}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.3

Сократим общий множитель $9$ и $39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $39$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 (13)} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 6.10.4.2

Изменим порядок множителей в $\frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3}{13} e^{3 t} \sin (2 t) - \frac{2}{13} e^{3 t} \cos (2 t)) + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим $\frac{3}{13} (e^{3 t} \sin (2 t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Объединим $e^{3 t}$ и $\frac{3}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13} \sin (2 t) - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Этап 7.1.1.1.2

Объединим $\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13}$ и $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3 \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Этап 7.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \cdot e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Этап 7.1.1.3

Умножим $- \frac{2}{13} (e^{3 t} \cos (2 t))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Объединим $e^{3 t}$ и $\frac{2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{e^{3 t} \cdot 2}{13} \cos (2 t)) + C$

Этап 7.1.1.3.2

Объединим $\cos (2 t)$ и $\frac{e^{3 t} \cdot 2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) (e^{3 t} \cdot 2)}{13}) + C$

Этап 7.1.1.4

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{13}) + C$

Этап 7.1.1.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 7.1.3

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 7.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ в числитель.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Этап 7.1.4.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Этап 7.1.4.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t} + C$

Этап 7.1.5

Изменим порядок множителей в $3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ на $e^{3 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ на $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Разделим $3 \sin (2 t)$ на $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.3.1.2

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Разделим $- 2 \cos (2 t)$ на $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $6$ вместо $y$ в $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$6 = 3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$ .

$3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$3 \sin (0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$0 - 2 \cos (0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.7.1

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Этап 9.2.1.1.7.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{1} = 6$

Этап 9.2.1.1.8

Разделим $C$ на $1$ .

$0 - 2 + C = 6$

Этап 9.2.1.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2 + C = 6$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$C = 6 + 2$

Этап 9.3.2

Добавим $6$ и $2$ .

$C = 8$

Этап 10

Подставим $8$ вместо $C$ в $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $8$ вместо $C$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{8}{e^{3 t}}$