Математический анализ Примеры

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{4}{t} d t$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.2

Разделим $y - 3$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Этап 2.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Этап 2.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Этап 2.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Этап 2.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Этап 2.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.8

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.2.9

Упростим.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$